Matematika Kelas XI SMA/SMK
Barisan (sequence) adalah susunan bilangan yang disusun menurut aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku. Suku pertama dilambangkan dengan Uโ, suku kedua Uโ, dan suku ke-n dilambangkan dengan Uโ.
Deret (series) adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan. Jika barisan adalah Uโ, Uโ, Uโ, ..., Uโ, maka deret adalah Uโ + Uโ + Uโ + ... + Uโ yang biasa dilambangkan dengan Sโ.
Barisan dengan selisih antar suku berurutan selalu tetap (beda = b)
Contoh: 2, 5, 8, 11, 14, ... (b = 3)
Barisan dengan rasio antar suku berurutan selalu tetap (rasio = r)
Contoh: 2, 6, 18, 54, ... (r = 3)
Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda (selisih) yang tetap antara dua suku berurutan. Beda dilambangkan dengan b.
b = Uโ - Uโ = Uโ - Uโ = ... = Uโ - Uโโโ
Uโ = a + (n - 1)b
Rumus suku ke-n
Uโ = Uโ + (n - 1)b
Dengan a = Uโ (suku pertama)
Keterangan:
๐ฐ Menabung Rutin
Ani menabung dengan pola: minggu ke-1 = Rp5.000, minggu ke-2 = Rp10.000, minggu ke-3 = Rp15.000, ...
Barisan: 5.000, 10.000, 15.000, ... dengan a = 5.000 dan b = 5.000
Tabungan minggu ke-10: Uโโ = 5.000 + (10-1) ร 5.000 = Rp50.000
๐ช Susunan Kursi Stadion
Baris pertama ada 20 kursi, baris kedua 24 kursi, baris ketiga 28 kursi, ...
Barisan: 20, 24, 28, ... dengan a = 20 dan b = 4
Kursi baris ke-15: Uโโ = 20 + (15-1) ร 4 = 76 kursi
๐ Gaji dengan Kenaikan Tetap
Gaji awal Rp3.000.000 dengan kenaikan Rp200.000 per tahun.
Barisan: 3.000.000, 3.200.000, 3.400.000, ... dengan a = 3.000.000 dan b = 200.000
Gaji tahun ke-5: Uโ = 3.000.000 + (5-1) ร 200.000 = Rp3.800.000
Diketahui barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan suku ke-20!
Penyelesaian:
a = 3, b = 7 - 3 = 4, n = 20
Uโโ = a + (n - 1)b
Uโโ = 3 + (20 - 1) ร 4
Uโโ = 3 + 76 = 79
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) yang tetap antara dua suku berurutan. Rasio dilambangkan dengan r.
r = Uโ/Uโ = Uโ/Uโ = ... = Uโ/Uโโโ
Uโ = a ร rโฝโฟโปยนโพ
Rumus suku ke-n
Uโ = Uโ ร rโฝโฟโปยนโพ
Dengan a = Uโ (suku pertama)
Keterangan:
๐ฆ Pembelahan Bakteri
Bakteri membelah diri setiap 30 menit. Awalnya ada 1 bakteri.
Barisan: 1, 2, 4, 8, 16, ... dengan a = 1 dan r = 2
Bakteri setelah 5 jam (10 pembelahan): Uโโ = 1 ร 2ยนโฐ = 1.024 bakteri
๐ Penyusutan Nilai
Harga mobil Rp200.000.000 menyusut 20% per tahun (nilai tinggal 80%).
Barisan: 200jt, 160jt, 128jt, ... dengan a = 200jt dan r = 0,8
Nilai setelah 3 tahun: Uโ = 200jt ร 0,8ยณ = Rp102.400.000
๐น Bunga Majemuk
Tabungan Rp1.000.000 dengan bunga 10% per tahun (bertambah jadi 110%).
Barisan: 1jt, 1,1jt, 1,21jt, ... dengan a = 1jt dan r = 1,1
Tabungan setelah 5 tahun: Uโ = 1jt ร 1,1โต = Rp1.610.510
๐ Pantulan Bola
Bola dijatuhkan dari ketinggian 100 cm, setiap pantulan mencapai ยฝ ketinggian sebelumnya.
Barisan: 100, 50, 25, 12.5, ... dengan a = 100 dan r = 0,5
Tinggi pantulan ke-4: Uโ = 100 ร 0,5ยณ = 12,5 cm
Diketahui barisan geometri: 2, 6, 18, 54, ... Tentukan suku ke-8!
Penyelesaian:
a = 2, r = 6/2 = 3, n = 8
Uโ = a ร rโฝโฟโปยนโพ
Uโ = 2 ร 3โท
Uโ = 2 ร 2.187 = 4.374
Deret Aritmetika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika. Jika barisan aritmetika adalah Uโ, Uโ, Uโ, ..., Uโ, maka deret aritmetikanya adalah Sโ = Uโ + Uโ + Uโ + ... + Uโ.
Sโ = n/2 ร (2a + (n-1)b)
Rumus jumlah n suku pertama (Rumus 1)
Sโ = n/2 ร (a + Uโ)
Rumus jumlah n suku pertama (Rumus 2)
Sโ = n/2 ร (Uโ + Uโ)
Rumus alternatif
Keterangan:
๐ฐ Total Tabungan
Budi menabung: minggu ke-1 = Rp5.000, minggu ke-2 = Rp10.000, minggu ke-3 = Rp15.000, ...
Berapa total tabungan selama 10 minggu?
a = 5.000, b = 5.000, n = 10
Sโโ = 10/2 ร (2ร5.000 + (10-1)ร5.000) = 5 ร 55.000 = Rp275.000
๐ช Total Kursi Stadion
Baris 1 = 20 kursi, baris 2 = 24 kursi, baris 3 = 28 kursi, ... (10 baris)
a = 20, b = 4, n = 10
Sโโ = 10/2 ร (2ร20 + (10-1)ร4) = 5 ร 76 = 380 kursi
๐ Latihan Lari
Hari ke-1 lari 1 km, hari ke-2 = 1,5 km, hari ke-3 = 2 km, ... (selama 7 hari)
a = 1, b = 0,5, n = 7
Sโ = 7/2 ร (2ร1 + (7-1)ร0,5) = 3,5 ร 5 = 17,5 km
Hitunglah jumlah 15 suku pertama dari deret: 4 + 7 + 10 + 13 + ...
Penyelesaian:
a = 4, b = 3, n = 15
Sโโ = n/2 ร (2a + (n-1)b)
Sโโ = 15/2 ร (2ร4 + (15-1)ร3)
Sโโ = 7,5 ร (8 + 42)
Sโโ = 7,5 ร 50 = 375
Deret Geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometri adalah Uโ, Uโ, Uโ, ..., Uโ, maka deret geometrinya adalah Sโ = Uโ + Uโ + Uโ + ... + Uโ.
Sโ = a(rโฟ - 1)/(r - 1), untuk r > 1
Rumus untuk r lebih dari 1
Sโ = a(1 - rโฟ)/(1 - r), untuk r < 1
Rumus untuk r kurang dari 1
Sโ = a/(1 - r), untuk |r| < 1
Rumus deret geometri tak hingga
Keterangan:
๐ฆ Total Bakteri
1 bakteri membelah setiap jam (ร2). Berapa total bakteri setelah 8 jam?
a = 1, r = 2, n = 8
Sโ = 1ร(2โธ - 1)/(2 - 1) = 256 - 1 = 255 bakteri
๐น Total Investasi dengan Bunga Majemuk
Investasi Rp1.000.000/tahun dengan return 10%/tahun selama 5 tahun.
a = 1.000.000, r = 1,1, n = 5
Sโ = 1.000.000ร(1,1โต - 1)/(1,1 - 1) โ Rp6.105.100
๐ Total Jarak Pantulan Bola
Bola dijatuhkan dari 100 cm, setiap pantulan ยฝ tinggi sebelumnya. Total jarak turun?
a = 100, r = 0,5 (deret tak hingga)
Sโ = 100/(1 - 0,5) = 200 cm
๐ฑ Penyebaran Virus/Berita
1 orang menyebarkan ke 3 orang, masing-masing menyebar ke 3 orang lagi. Total 5 tahap?
a = 1, r = 3, n = 5
Sโ = 1ร(3โต - 1)/(3 - 1) = 242/2 = 121 orang
Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret: 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Penyelesaian:
a = 3, r = 2, n = 6
Sโ = a(rโฟ - 1)/(r - 1)
Sโ = 3 ร (2โถ - 1)/(2 - 1)
Sโ = 3 ร (64 - 1)/1
Sโ = 3 ร 63 = 189
Rumus: Uโ = a + (n - 1) ร b
Rumus: Uโ = a ร rโฝโฟโปยนโพ
Rumus: Sโ = n/2 ร (2a + (n-1)b)
Rumus: Sโ = a(rโฟ - 1)/(r - 1)
Skor Anda: