Matematika Kelas XI SMA/SMK
Barisan (sequence) adalah susunan bilangan yang disusun menurut aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku. Suku pertama dilambangkan dengan U₁, suku kedua U₂, dan suku ke-n dilambangkan dengan Uₙ.
Deret (series) adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan. Jika barisan adalah U₁, U₂, U₃, ..., Uₙ, maka deret adalah U₁ + U₂ + U₃ + ... + Uₙ yang biasa dilambangkan dengan Sₙ.
Barisan dengan selisih antar suku berurutan selalu tetap (beda = b)
Contoh: 2, 5, 8, 11, 14, ... (b = 3)
Barisan dengan rasio antar suku berurutan selalu tetap (rasio = r)
Contoh: 2, 6, 18, 54, ... (r = 3)
Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda (selisih) yang tetap antara dua suku berurutan. Beda dilambangkan dengan b.
b = U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = ... = Uₙ - Uₙ₋₁
Uₙ = a + (n - 1)b
Rumus suku ke-n
Uₙ = U₁ + (n - 1)b
Dengan a = U₁ (suku pertama)
Keterangan:
💰 Menabung Rutin
Ani menabung dengan pola: minggu ke-1 = Rp5.000, minggu ke-2 = Rp10.000, minggu ke-3 = Rp15.000, ...
Barisan: 5.000, 10.000, 15.000, ... dengan a = 5.000 dan b = 5.000
Tabungan minggu ke-10: U₁₀ = 5.000 + (10-1) × 5.000 = Rp50.000
🪜 Susunan Kursi Stadion
Baris pertama ada 20 kursi, baris kedua 24 kursi, baris ketiga 28 kursi, ...
Barisan: 20, 24, 28, ... dengan a = 20 dan b = 4
Kursi baris ke-15: U₁₅ = 20 + (15-1) × 4 = 76 kursi
📅 Gaji dengan Kenaikan Tetap
Gaji awal Rp3.000.000 dengan kenaikan Rp200.000 per tahun.
Barisan: 3.000.000, 3.200.000, 3.400.000, ... dengan a = 3.000.000 dan b = 200.000
Gaji tahun ke-5: U₅ = 3.000.000 + (5-1) × 200.000 = Rp3.800.000
Diketahui barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan suku ke-20!
Penyelesaian:
a = 3, b = 7 - 3 = 4, n = 20
U₂₀ = a + (n - 1)b
U₂₀ = 3 + (20 - 1) × 4
U₂₀ = 3 + 76 = 79
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) yang tetap antara dua suku berurutan. Rasio dilambangkan dengan r.
r = U₂/U₁ = U₃/U₂ = ... = Uₙ/Uₙ₋₁
Uₙ = a × r⁽ⁿ⁻¹⁾
Rumus suku ke-n
Uₙ = U₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾
Dengan a = U₁ (suku pertama)
Keterangan:
🦠 Pembelahan Bakteri
Bakteri membelah diri setiap 30 menit. Awalnya ada 1 bakteri.
Barisan: 1, 2, 4, 8, 16, ... dengan a = 1 dan r = 2
Bakteri setelah 5 jam (10 pembelahan): U₁₁ = 1 × 2¹⁰ = 1.024 bakteri
📉 Penyusutan Nilai
Harga mobil Rp200.000.000 menyusut 20% per tahun (nilai tinggal 80%).
Barisan: 200jt, 160jt, 128jt, ... dengan a = 200jt dan r = 0,8
Nilai setelah 3 tahun: U₄ = 200jt × 0,8³ = Rp102.400.000
💹 Bunga Majemuk
Tabungan Rp1.000.000 dengan bunga 10% per tahun (bertambah jadi 110%).
Barisan: 1jt, 1,1jt, 1,21jt, ... dengan a = 1jt dan r = 1,1
Tabungan setelah 5 tahun: U₆ = 1jt × 1,1⁵ = Rp1.610.510
🏀 Pantulan Bola
Bola dijatuhkan dari ketinggian 100 cm, setiap pantulan mencapai ½ ketinggian sebelumnya.
Barisan: 100, 50, 25, 12.5, ... dengan a = 100 dan r = 0,5
Tinggi pantulan ke-4: U₄ = 100 × 0,5³ = 12,5 cm
Diketahui barisan geometri: 2, 6, 18, 54, ... Tentukan suku ke-8!
Penyelesaian:
a = 2, r = 6/2 = 3, n = 8
U₈ = a × r⁽ⁿ⁻¹⁾
U₈ = 2 × 3⁷
U₈ = 2 × 2.187 = 4.374
Deret Aritmetika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika. Jika barisan aritmetika adalah U₁, U₂, U₃, ..., Uₙ, maka deret aritmetikanya adalah Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + ... + Uₙ.
Sₙ = n/2 × (2a + (n-1)b)
Rumus jumlah n suku pertama (Rumus 1)
Sₙ = n/2 × (a + Uₙ)
Rumus jumlah n suku pertama (Rumus 2)
Sₙ = n/2 × (U₁ + Uₙ)
Rumus alternatif
Keterangan:
💰 Total Tabungan
Budi menabung: minggu ke-1 = Rp5.000, minggu ke-2 = Rp10.000, minggu ke-3 = Rp15.000, ...
Berapa total tabungan selama 10 minggu?
a = 5.000, b = 5.000, n = 10
S₁₀ = 10/2 × (2×5.000 + (10-1)×5.000) = 5 × 55.000 = Rp275.000
🪜 Total Kursi Stadion
Baris 1 = 20 kursi, baris 2 = 24 kursi, baris 3 = 28 kursi, ... (10 baris)
a = 20, b = 4, n = 10
S₁₀ = 10/2 × (2×20 + (10-1)×4) = 5 × 76 = 380 kursi
🏃 Latihan Lari
Hari ke-1 lari 1 km, hari ke-2 = 1,5 km, hari ke-3 = 2 km, ... (selama 7 hari)
a = 1, b = 0,5, n = 7
S₇ = 7/2 × (2×1 + (7-1)×0,5) = 3,5 × 5 = 17,5 km
Hitunglah jumlah 15 suku pertama dari deret: 4 + 7 + 10 + 13 + ...
Penyelesaian:
a = 4, b = 3, n = 15
S₁₅ = n/2 × (2a + (n-1)b)
S₁₅ = 15/2 × (2×4 + (15-1)×3)
S₁₅ = 7,5 × (8 + 42)
S₁₅ = 7,5 × 50 = 375
Deret Geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometri adalah U₁, U₂, U₃, ..., Uₙ, maka deret geometrinya adalah Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + ... + Uₙ.
Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1), untuk r > 1
Rumus untuk r lebih dari 1
Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r), untuk r < 1
Rumus untuk r kurang dari 1
S∞ = a/(1 - r), untuk |r| < 1
Rumus deret geometri tak hingga
Keterangan:
🦠 Total Bakteri
1 bakteri membelah setiap jam (×2). Berapa total bakteri setelah 8 jam?
a = 1, r = 2, n = 8
S₈ = 1×(2⁸ - 1)/(2 - 1) = 256 - 1 = 255 bakteri
💹 Total Investasi dengan Bunga Majemuk
Investasi Rp1.000.000/tahun dengan return 10%/tahun selama 5 tahun.
a = 1.000.000, r = 1,1, n = 5
S₅ = 1.000.000×(1,1⁵ - 1)/(1,1 - 1) ≈ Rp6.105.100
🏀 Total Jarak Pantulan Bola
Bola dijatuhkan dari 100 cm, setiap pantulan ½ tinggi sebelumnya. Total jarak turun?
a = 100, r = 0,5 (deret tak hingga)
S∞ = 100/(1 - 0,5) = 200 cm
📱 Penyebaran Virus/Berita
1 orang menyebarkan ke 3 orang, masing-masing menyebar ke 3 orang lagi. Total 5 tahap?
a = 1, r = 3, n = 5
S₅ = 1×(3⁵ - 1)/(3 - 1) = 242/2 = 121 orang
Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret: 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Penyelesaian:
a = 3, r = 2, n = 6
S₆ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
S₆ = 3 × (2⁶ - 1)/(2 - 1)
S₆ = 3 × (64 - 1)/1
S₆ = 3 × 63 = 189
Rumus: Uₙ = a + (n - 1) × b
Rumus: Uₙ = a × r⁽ⁿ⁻¹⁾
Rumus: Sₙ = n/2 × (2a + (n-1)b)
Rumus: Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
Skor Anda: