Matematika Kelas XI SMK
Bayangkan sebuah pabrik roti memiliki dua mesin:
Jika kita rangkaikan kedua mesin: Tepung → Mesin A → Adonan → Mesin B → Roti
Rangkaian ini adalah KOMPOSISI FUNGSI (g ∘ f), dimana output mesin A menjadi input mesin B!
Di sebuah toko, ada dua penawaran:
Jika harga barang Rp 100.000, berapa harga akhir dengan diskon 20% lalu potongan Rp 10.000?
(g ∘ f)(100.000) = g(f(100.000)) = g(80.000) = 70.000
Rumus mengubah Celsius ke Fahrenheit:
f(C) = (9/5)C + 32
Bagaimana jika kita ingin mengubah Fahrenheit kembali ke Celsius? Kita butuh FUNGSI INVERS!
f⁻¹(F) = (5/9)(F - 32)
Sebelum mempelajari materi, mari kita pikirkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
Apakah setiap relasi merupakan fungsi?
💡 Pikirkan: Apa yang membedakan relasi biasa dengan fungsi?
Apa peran domain, kodomain, dan range dari sebuah fungsi?
💡 Pikirkan: Bagaimana ketiga komponen ini saling berhubungan?
Bagaimana menerapkan operasi dan komposisi fungsi untuk memodelkan suatu keadaan atau masalah?
💡 Pikirkan: Contoh nyata dalam kehidupan sehari-hari!
Kapan fungsi invers dapat diperoleh?
💡 Pikirkan: Apakah semua fungsi memiliki invers?
Bagaimana menggunakan fungsi invers untuk memodelkan suatu keadaan atau masalah?
💡 Pikirkan: Kapan kita perlu "membalik" proses?
📌 Catatan: Simpan pertanyaan-pertanyaan ini dalam pikiranmu. Setelah mempelajari semua materi, kamu akan dapat menjawab semuanya dengan percaya diri!
Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A (domain) dengan tepat satu anggota himpunan B (kodomain).
📖 Sumber: Kemendikbud RI, Buku Matematika Kelas XI SMK Kurikulum Merdeka
Himpunan A = {1, 2, 3}
Himpunan B = {a, b, c, d}
Setiap anggota A tepat memiliki satu pasangan di B ✓
Himpunan A = {1, 2, 3}
Himpunan B = {a, b, c}
Anggota 1 memiliki 2 pasangan (a dan b) ✗
f : A → B atau y = f(x)
Dibaca: "fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B"
Daerah Asal
Himpunan semua nilai x yang mungkin
Daerah Kawan
Himpunan semua kemungkinan nilai y
Daerah Hasil
Himpunan nilai y yang benar-benar tercapai
Diketahui fungsi f : A → B dengan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Rumus fungsi: f(x) = 2x
| x (Domain) | f(x) = 2x | Hasil |
|---|---|---|
| 1 | 2(1) | 2 |
| 2 | 2(2) | 4 |
| 3 | 2(3) | 6 |
| 4 | 2(4) | 8 |
Domain (Df) = {1, 2, 3, 4}
Kodomain = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Range (Rf) = {2, 4, 6, 8}
Range selalu merupakan HIMPUNAN BAGIAN dari Kodomain
Range ⊆ Kodomain
Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi, maka kita dapat melakukan operasi:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0
Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x - 1
Tentukan:
a) (f + g)(x)
= f(x) + g(x)
= (2x + 3) + (x - 1)
= 3x + 2
b) (f - g)(x)
= f(x) - g(x)
= (2x + 3) - (x - 1)
= x + 4
c) (f × g)(x)
= f(x) × g(x)
= (2x + 3)(x - 1)
= 2x² - 2x + 3x - 3
= 2x² + x - 3
d) (f/g)(x)
= f(x) / g(x)
= (2x + 3)/(x - 1), x ≠ 1
Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih dimana hasil (output) fungsi pertama menjadi input fungsi kedua.
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
Dibaca: "g komposisi f" atau "g bundaran f"
⚠️ Perhatikan: f dikerjakan TERLEBIH DAHULU, baru g
Input
x
Fungsi f
f(x)
Fungsi g
g(f(x))
Output
(g∘f)(x)
Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² - 3
Tentukan (g ∘ f)(x) dan (f ∘ g)(x)!
a) (g ∘ f)(x) = g(f(x))
= g(2x + 1)
= (2x + 1)² - 3
= 4x² + 4x + 1 - 3
= 4x² + 4x - 2
b) (f ∘ g)(x) = f(g(x))
= f(x² - 3)
= 2(x² - 3) + 1
= 2x² - 6 + 1
= 2x² - 5
⚠️ Penting: (g ∘ f)(x) ≠ (f ∘ g)(x) — Komposisi fungsi TIDAK KOMUTATIF!
Komposisi (g ∘ f) dapat dilakukan jika dan hanya jika:
Range f ⊆ Domain g
Artinya: Semua hasil dari fungsi f harus bisa menjadi input untuk fungsi g
(f ∘ g) ≠ (g ∘ f)
Urutan komposisi sangat penting dan mempengaruhi hasil!
(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
Pengelompokan tidak mempengaruhi hasil akhir
I(x) = x
(f ∘ I)(x) = (I ∘ f)(x) = f(x)
Fungsi identitas adalah elemen netral dalam komposisi
Diketahui f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x²
Buktikan: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
Cara 1: (f ∘ g) ∘ h
(f ∘ g)(x) = f(2x) = 2x + 1
((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ g)(x²)
= 2x² + 1
Cara 2: f ∘ (g ∘ h)
(g ∘ h)(x) = g(x²) = 2x²
(f ∘ (g ∘ h))(x) = f(2x²)
= 2x² + 1
✓ Terbukti sama!
Fungsi invers f⁻¹ adalah fungsi yang "membalik" operasi fungsi f. Jika f memetakan x ke y, maka f⁻¹ memetakan y kembali ke x.
(f⁻¹ ∘ f)(x) = x
(f ∘ f⁻¹)(x) = x
Komposisi fungsi dengan inversnya menghasilkan fungsi identitas
Fungsi f memiliki invers jika dan hanya jika f adalah fungsi BIJEKTIF (satu-satu DAN onto).
Tentukan invers dari f(x) = 2x + 3
y = 2x + 3
x = 2y + 3 (tukar x dan y)
x - 3 = 2y
y = (x - 3)/2
f⁻¹(x) = (x - 3)/2
🔍 Verifikasi:
(f ∘ f⁻¹)(x) = f((x-3)/2) = 2((x-3)/2) + 3 = x - 3 + 3 = x ✓
(Fungsi Satu-Satu)
Setiap anggota kodomain dipasangkan dengan paling banyak satu anggota domain
(Fungsi Onto)
Setiap anggota kodomain dipasangkan dengan paling sedikit satu anggota domain
(Korespondensi Satu-Satu)
Injektif DAN Surjektif sekaligus (pasangan sempurna)
Hanya fungsi BIJEKTIF yang memiliki fungsi invers!
Karena bijektif menjamin setiap elemen domain dan kodomain memiliki pasangan tunggal dan tepat.
f(x) = 2x, x ∈ ℝ, dengan kodomain ℝ
✅ Injektif (beda x → beda hasil)
✅ Surjektif (semua ℝ tercapai)
→ BIJEKTIF (memiliki invers)
g(x) = x², x ∈ ℝ, dengan kodomain ℝ
❌ Tidak Injektif (g(-2) = g(2) = 4)
❌ Tidak Surjektif (nilai negatif tak tercapai)
→ TIDAK memiliki invers
Skor Akhir:
Relasi yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x) dan (f × g)(x) = f(x) × g(x)
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) — output f menjadi input g
Sifat: Tidak komutatif, tetapi asosiatif
Fungsi yang membalik operasi fungsi asli: (f⁻¹ ∘ f)(x) = x
Syarat: Fungsi harus bijektif